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IB Math AI SL · Tema 5

Cálculo

Aplicado, no abstracto: la derivada encuentra las mejores respuestas a problemas verbales, la integral mide áreas bajo ellas, y la regla del trapecio estima lo que no se integra limpio. Las matemáticas son breves; la justificación alrededor lo es todo.

Qué cubre el temario

Ocho secciones evaluadas, SL 5.1 a 5.8.

SL 5.1Límites y la derivadaEl concepto de límite introducido informalmente; la derivada interpretada como función pendiente y como razón de cambio.
SL 5.2Crecimiento y decrecimientoLeer f′(x) > 0, f′(x) = 0 y f′(x) < 0 en una gráfica, y qué significa cada uno para la función.
SL 5.3Derivadas de polinomiosFunciones de la forma f(x) = axⁿ + bxⁿ⁻¹ + …, donde todos los exponentes son enteros.
SL 5.4Tangentes y normalesSus ecuaciones en un punto dado — pendiente desde la derivada, recta por el punto con sustitución mostrada.
SL 5.5IntegraciónAntiderivadas de funciones tipo axⁿ (n ≠ −1); condiciones de frontera para fijar la constante; integrales definidas con tecnología; área bajo una curva sobre el eje x.
SL 5.6Puntos estacionariosResolver f′(x) = 0; identificar máximos y mínimos locales entre las soluciones.
SL 5.7Optimización en contextoProblemas verbales que recorren modelo → derivar → resolver → interpretar, con unidades y conclusión en términos del escenario.
SL 5.8Regla del trapecioAproximar áreas bajo curvas cuando no hay integración disponible — tabla de valores, ancho de intervalo h, suma ponderada.

Cómo se examina

Los problemas de optimización cierran las cadenas de modelización del Paper 2 — el cálculo son tres líneas; el encuadre y la justificación llevan el resto.

  • Las preguntas de optimización llegan vestidas de contexto — ganancia máxima, cercado mínimo — exigiendo una variable definida, una función construida, y un punto estacionario hallado y clasificado.

  • Hallar f′(x) = 0 da puntos de método; afirmar 'este es el máximo' sin verificarlo cuesta el punto de razonamiento.

  • Tangentes y normales se examinan como ecuaciones que pasan por un punto dado, mostrando la sustitución.

  • Las preguntas de trapecio entregan tablas de valores; el ancho de intervalo h es donde viven los errores silenciosos.

  • El booklet da exactamente tres cosas aquí: la regla de potencias para derivar xⁿ, la regla de potencias para integrarla, y la propia regla del trapecio. Sobre optimización no aparece nada en él — la preparación la construyes tú por completo.

  • La prueba de la segunda derivada no forma parte del temario SL, así que un punto estacionario se clasifica con un argumento de cambio de signo alrededor — valores de f′ a ambos lados, o la gráfica en tu GDC.

Una pregunta corregida, punto por punto

Una cadena de optimización que muestra dónde el punto de justificación separa las respuestas completas de las casi completas.

Adquiere el hábito de justificar, con ejercicios nuevos

Optimización, tangentes y áreas generadas ilimitadamente en SL 5.1–5.8 — cada una devuelta punto por punto, para que la clasificación o la unidad ausente se vuelva visible de inmediato, no el día de resultados.

Prueba gratis

¿Nuevo en los códigos? M1, A1 y R1 explicados →

Optimización · SL 5.6 / 5.7

Semilla 6A52

Un granjero construye un cerco rectangular apoyado en una pared existente, usando 60 m de malla para los otros tres lados.

  1. (a)Demuestra que el área es A(x) = x(60 − 2x), donde x es la profundidad.
  2. (b)Halla las dimensiones que maximizan el área, justificando que es un máximo.

Tu desarrollo

A(x) = x(60 − 2x)

A′(x) = 60 − 4x = 0 → x = 15

dimensiones 15 m × 30 m, A = 450 m²

Puntos otorgados

  • M1Mark awarded. Derivó y resolvió A′(x) = 0 correctamente.
  • A1Mark awarded. x = 15 m, área máxima 450 m².
  • R1Mark not awarded. Máximo afirmado, nunca justificado — sin verificación de segunda derivada ni argumento de cambio de signo.

Dónde se pierden los puntos de verdad

Las respuestas de cálculo terminan con frases, no con números.

Quedarse en la solución de f′(x) = 0 sin clasificar el punto estacionario.

CostoEl punto de razonamiento existe precisamente para distinguir máximos de mínimos — algo que la simple afirmación no gana.

Respuestas finales sin unidades ni frase de cierre en términos del problema.

Costo'x = 15' es una coordenada; 'el cerco debe tener 15 m de profundidad' es lo que la pregunta pedía.

Fijar mal el ancho de intervalo h en la regla del trapecio.

CostoCada ordenada queda mal ponderada y la aproximación se derrumba.

Errores de signo al derivar polinomios con coeficientes negativos.

CostoEl arrastre protege los puntos posteriores solo cuando el método escrito permanece consistente y legible.

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