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IB Matemáticas AA SL · Tema 5

Cálculo

El tema más grande del curso según el tiempo de enseñanza recomendado. La derivación halla pendientes, puntos de giro y tasas de cambio; la integración la revierte y mide áreas; la cinemática pone ambas a trabajar sobre una partícula en movimiento. A diferencia del otro curso SL, aquí las funciones van más allá de los polinomios — potencias, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas — y el desarrollo es simbólico.

Qué cubre el temario

Once secciones evaluadas, SL 5.1 a 5.11 — de la idea de límite a las áreas entre curvas.

SL 5.1Límites y la derivada como tasa de cambioEl límite presentado de manera informal; la derivada leída como función pendiente y como tasa de cambio.
SL 5.2Funciones crecientes y decrecientesLo que dicen f′(x) > 0, f′(x) = 0 y f′(x) < 0 sobre la función, leído en su gráfica.
SL 5.3Derivadas de funciones con exponentes enterosDerivar sumas de términos axⁿ donde todos los exponentes son enteros.
SL 5.4Tangentes y normalesSus ecuaciones en un punto dado: pendiente desde la derivada, recta por el punto.
SL 5.5Introducción a la integraciónAntiderivadas de funciones tipo axⁿ, condiciones de frontera para fijar la constante y áreas bajo una curva con tecnología.
SL 5.6Derivadas de xⁿ, sen x, cos x, eˣ y ln x; reglas de la cadena, del producto y del cocienteExponentes racionales, las derivadas estándar y las tres reglas para combinar funciones.
SL 5.7La segunda derivadaConcavidad, y la relación entre las gráficas de f, f′ y f″.
SL 5.8Máximos, mínimos, optimización y puntos de inflexiónMáximos y mínimos locales y cómo comprobarlos; optimización en contexto; puntos de inflexión.
SL 5.9CinemáticaDesplazamiento, velocidad y aceleración como derivadas e integrales unas de otras.
SL 5.10Integrales indefinidas; inspección y sustituciónIntegrales de xⁿ, sen x, cos x, 1/x y eˣ y sus compuestas lineales; revertir la regla de la cadena y sustitución de la forma ∫f(g(x))g′(x) dx.
SL 5.11Integrales definidas y áreas entre curvasIntegrales definidas evaluadas analíticamente o con tecnología; áreas encerradas por curvas.

Cómo se examina

El cálculo se examina en ambos papers y en un registro distinto en cada uno: exacto y simbólico en el Paper 1, numérico y en contexto en el Paper 2.

  • El Paper 1 (sin calculadora) pide derivadas e integrales a mano — reglas de la cadena, del producto y del cociente, integración por inspección o sustitución — con respuestas exactas como 2e² − 1 o ln 3. No se piden decimales.

  • El Paper 2 (con tecnología) trae contextos: una tasa de cambio, una optimización, una integral definida evaluada por la GDC. El cálculo son unas pocas líneas; construir el modelo, justificar la respuesta y devolverla al contexto es el resto.

  • El cálculo trigonométrico se hace en radianes. Una GDC en modo grados da en silencio valores incorrectos en toda derivada e integral que involucre sen o cos.

  • Los puntos estacionarios deben clasificarse. Resolver f′(x) = 0 gana el punto de método; afirmar que el punto es un máximo o un mínimo necesita una justificación — el signo de f′ a ambos lados, o el signo de f″.

  • Una integral indefinida necesita su constante. Cuando se da una condición de frontera — un punto por el que pasa la antiderivada — hay que hallar la constante, no dejarla como + C.

  • En cinemática, el desplazamiento es la integral de la velocidad, pero la distancia recorrida es la integral de su valor absoluto. Cuando la partícula da la vuelta, ambas difieren, y la pregunta suele arreglarlo así.

  • El booklet imprime las derivadas estándar y las reglas del producto, del cociente y de la cadena. Lo que se califica es qué tan bien las aplicas — y si recordaste la derivada interior.

Una pregunta corregida, punto por punto

Una pregunta de cinemática donde la integración es correcta y la pregunta respondida no es la que se hizo.

Adquiere el hábito de terminar bien, con ejercicios nuevos

De las pendientes de SL 5.1 a las áreas entre curvas de SL 5.11, cada ejercicio generado vuelve corregido punto por punto — para que la constante, la clasificación o el análisis de signos que faltan se vean de inmediato, no el día de resultados.

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Cinemática · SL 5.9

Semilla 2H76

Una partícula se mueve en línea recta con velocidad v(t) = 3t² − 12t + 9 m s⁻¹, para 0 ≤ t ≤ 4.

  1. (a)Halla el desplazamiento de la partícula de t = 0 a t = 4.
  2. (b)Halla la distancia total recorrida en los primeros 4 segundos.

Tu desarrollo

s = ∫ v dt = t³ − 6t² + 9t

s(4) − s(0) = 64 − 96 + 36 = 4 m

distancia = 4 m

Puntos otorgados

  • M1Mark awarded. Integró correctamente la velocidad para obtener t³ − 6t² + 9t.
  • A1Mark awarded. Desplazamiento = 4 m.
  • R1Mark not awarded. Distancia dada como 4 m: v cambia de signo en t = 1 y t = 3, así que la distancia se halla en tres intervalos y resulta 12 m.

Dónde se pierden los puntos de verdad

Las respuestas de cálculo se terminan con una frase o una constante, no con el último número de la página.

Omitir la constante de integración en una integral indefinida.

CostoSe pierde el punto de respuesta. Cuando una condición de frontera debía fijar la constante, también se pierden los puntos que dependían de ella.

Detenerse en la solución de f′(x) = 0 sin decir si es un máximo o un mínimo.

CostoEl punto de razonamiento existe para separar ambos. No se gana por afirmación, solo por el signo de f′ o de f″.

Olvidar la derivada interior al aplicar la regla de la cadena.

CostoLa derivada queda mal desde esa línea. El arrastre protege los puntos posteriores solo si el método escrito es consistente y legible.

Hallar la distancia como una integral simple de la velocidad cuando la partícula cambia de dirección.

CostoLa integral da el desplazamiento. La distancia exige dividir los intervalos en los cambios de signo, y los puntos son por ese paso.

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