AscentIQAscentIQ — home
← IB Matemáticas AI HL

IB Matemáticas AI HL · Tema 3

Geometría y trigonometría

El tema que más cambia entre SL y HL. En SL es medición — sólidos, triángulos, diagramas de Voronoi. En HL se vuelve estructura: radianes, transformaciones con matrices, vectores en tres dimensiones y teoría de grafos — las redes, recorridos y rutas óptimas que aparecen en las preguntas más largas.

Qué cubre el temario

Dieciséis secciones evaluadas: SL 3.1 a 3.6, compartidas con AI SL, y AHL 3.7 a 3.16, que son solo de HL.

SL 3.1Medida en 2D y 3DDistancia y punto medio en tres dimensiones; volumen y área superficial de pirámides rectas, conos, esferas, hemisferios y sólidos compuestos; ángulos entre rectas que se cruzan y entre una recta y un plano.
SL 3.2Trigonometría del triánguloRazones seno, coseno y tangente en triángulos rectángulos; ley de los senos y ley de los cosenos para triángulos oblicuángulos; área como ½ab·senC.
SL 3.3AplicacionesÁngulos de elevación y depresión, teorema de Pitágoras en contexto, y construcción de diagramas etiquetados a partir de enunciados escritos.
SL 3.4Arcos y sectoresLongitud de arco y área de sector, con el ángulo θ medido en grados.
SL 3.5MediatricesEcuaciones construidas desde un punto medio y una pendiente recíproca negativa — la maquinaria detrás de las fronteras de Voronoi.
SL 3.6Diagramas de VoronoiSitios, vértices, aristas y celdas; agregar un sitio a un diagrama existente; interpolación del vecino más cercano; el problema del vertedero tóxico.
AHL 3.7Medida en radianesEl radián, pasar de grados a radianes y viceversa, y la longitud de arco y el área de sector en radianes.
AHL 3.8El círculo unitario, identidades y ecuacionesSeno y coseno en el círculo unitario, las identidades pitagórica y del ángulo doble, y las ecuaciones que se apoyan en ellas.
AHL 3.9Transformaciones con matricesReflexiones, dilataciones, homotecias y rotaciones como matrices; transformaciones compuestas; el determinante como factor de escala de áreas.
AHL 3.10Conceptos de vectoresVectores de posición, vectores unitarios y base, magnitud, y sumas y múltiplos en dos y tres dimensiones.
AHL 3.11La ecuación vectorial de una rectar = a + λb en dos y tres dimensiones; rectas paralelas, secantes y alabeadas; el ángulo entre rectas.
AHL 3.12Vectores y cinemáticaMovimiento con velocidad constante, y con velocidad que cambia, hallado derivando e integrando un vector de posición.
AHL 3.13Producto escalar y producto vectorialEl ángulo entre vectores, la perpendicularidad y el área de un triángulo o un paralelogramo.
AHL 3.14Teoría de grafosVértices, aristas, grado, recorridos, caminos y circuitos; árboles; grafos ponderados; grafos eulerianos y hamiltonianos.
AHL 3.15Matrices de adyacencia, recorridos y matrices de transiciónContar recorridos de una longitud dada con potencias de la matriz de adyacencia, y paseos aleatorios en un grafo.
AHL 3.16Algoritmos de grafosLos algoritmos de Kruskal y de Prim, el problema de inspección de rutas (cartero chino) y las cotas del problema del viajante.

Cómo se examina

Las secciones de HL son métodos que puedes seguir, y los puntos siguen al método etapa por etapa.

  • Desde AHL 3.7 la unidad de un ángulo son los radianes, salvo que la pregunta diga grados. El modo angular de la calculadora es parte de la respuesta.

  • Dos rectas en tres dimensiones pueden ser paralelas, cortarse o ser alabeadas. 'Demuestra que no se cortan' necesita una justificación: parámetros que cumplen algunas de las ecuaciones de coordenadas pero no todas.

  • El producto escalar da el ángulo entre vectores y prueba la perpendicularidad, a · b = 0. El producto vectorial da un vector perpendicular a ambos, y |a × b| es el área del paralelogramo que generan.

  • Las transformaciones con matrices se leen a partir de la imagen del cuadrado unitario. El determinante es el factor de escala del área, y una transformación compuesta multiplica sus matrices de derecha a izquierda.

  • Los algoritmos de grafos se califican como procesos: las aristas elegidas en orden para Kruskal o Prim, el recorrido y su longitud para el vecino más próximo, la cota inferior por vértice eliminado. El peso total por sí solo no lleva los puntos.

  • La cinemática vectorial pide posición, velocidad y rapidez en un instante, y a menudo el acercamiento máximo de dos objetos en movimiento — una distancia que se minimiza con cálculo o tecnología.

Una pregunta corregida, punto por punto

Una pregunta de producto escalar donde el ángulo es correcto y la conclusión sobre la perpendicularidad no está justificada.

Sigue el método completo, con ejercicios nuevos

De SL 3.1 a AHL 3.16, cada ejercicio generado vuelve corregido punto por punto — y las preguntas de teoría de grafos se construyen para que haya una sola respuesta correcta, así que un resultado distinto es algo que te toca explicar.

Empieza tu prueba

¿Nuevo en los códigos? M1, A1 y R1 explicados →

Producto escalar · AHL 3.13

Semilla 6T27

Sean a = (2, −1, 2) y b = (1, 2, 2).

  1. (a)Halla el ángulo entre a y b, en radianes, con tres cifras significativas.
  2. (b)Indica si a y b son perpendiculares, dando una razón.

Tu desarrollo

a · b = 2(1) + (−1)(2) + 2(2) = 4

|a| = |b| = 3, así que cos θ = 4/9

θ = 1,11 rad

No son perpendiculares.

Puntos otorgados

  • M1Mark awarded. Usó cos θ = a · b / (|a||b|) con el producto escalar y ambas magnitudes.
  • A1Mark awarded. θ = 1,11 radianes, con tres cifras significativas.
  • R1Mark not awarded. 'No son perpendiculares' se afirma sin la razón: a · b = 4, que no es cero.

Dónde se pierden los puntos de verdad

Con vectores y grafos el método es largo, y los puntos se van donde se salta una etapa o se pierde una unidad.

Calcular en modo grados cuando la pregunta trabaja en radianes.

CostoÁngulos, longitudes de arco y áreas de sector salen mal a la vez; los puntos de método pueden sobrevivir, los de exactitud no.

Decidir que dos rectas se cortan porque dos de las tres coordenadas coinciden.

CostoLas tres ecuaciones deben cumplirse con el mismo par de parámetros. Detenerse antes convierte rectas alabeadas en una intersección.

Multiplicar las matrices de transformación en el orden equivocado.

CostoLa compuesta realiza las transformaciones en el orden contrario. Cada punto, y cada respuesta posterior, queda mal.

Dar solo el peso total de un árbol de expansión o de una ruta, sin las aristas elegidas.

CostoLos puntos son por las etapas del algoritmo. Un total correcto sin desarrollo no muestra ninguna.

Otros temas de Matemáticas AI HL

¿Estudias otro curso?