IB Matemáticas AI HL · Tema 1
Número y álgebra
Todo lo del tema SL — sucesiones, finanzas, logaritmos, aproximación, resolver con tecnología — más una segunda capa que cambia lo que significa 'número': números complejos, matrices y valores propios. El álgebra es más abstracta, la GDC sigue permitida y las formas exactas importan más que en SL.
Qué cubre el temario
Quince secciones evaluadas: SL 1.1 a 1.8, compartidas con AI SL, y AHL 1.9 a 1.15, que son solo de HL.
Cómo se examina
HL mantiene la tecnología de AI SL y añade trabajo que hay que hacer en forma exacta y escribir con la notación correcta.
Se permite GDC en todos los papers de HL. Pero cuando se indica una forma — 'en la forma r ln p', 'como un solo logaritmo' — la respuesta es exacta y la calculadora solo la comprueba.
Los números complejos pasan entre tres formas: cartesiana a + bi, módulo-argumento r(cos θ + i sen θ) y exponencial re^{iθ}. El argumento va en radianes, y el argumento principal está en (−π, π].
Las matrices se examinan como álgebra, no solo como aritmética: productos en el orden correcto, el determinante y la inversa de una matriz de 2×2, y resolver AX = B multiplicando por A⁻¹ por la izquierda.
Las preguntas de valores propios siguen una ruta fija: la ecuación característica det(A − λI) = 0, los vectores propios de cada λ, y luego A = PDP⁻¹ y Aⁿ = PDⁿP⁻¹.
Una suma infinita (AHL 1.11) existe solo cuando |r| < 1. Las preguntas que piden por qué existe, o el rango de r que lo permite, evalúan esa condición.
La regla de redondeo es la misma que en SL: exacto o tres cifras significativas, y una respuesta redondeada se escribe con las cifras pedidas.
Una pregunta corregida, punto por punto
Un cambio de forma donde el método y el número son correctos, y la unidad del ángulo no lo es.
Practica el álgebra nueva con ejercicios nuevos
De SL 1.1 a AHL 1.15, cada ejercicio generado vuelve corregido punto por punto, con una razón para cada uno — y los números complejos, las matrices y los vectores se pueden responder en las formas que acepta un esquema de puntuación.
Empieza tu prueba¿Nuevo en los códigos? M1, A1 y R1 explicados →
Forma exponencial · AHL 1.13
Semilla 9C41
Sea z = 1 + √3 i.
- (a)Halla el módulo y el argumento de z.
- (b)Por tanto, escribe z en la forma re^{iθ}.
Tu desarrollo
|z| = √(1² + (√3)²) = 2
arg z = tan⁻¹(√3) = 60°
z = 2e^{i·60°}
Puntos otorgados
- M1Mark awarded. Módulo y argumento hallados a partir de las partes real e imaginaria.
- A1Mark awarded. |z| = 2.
- A1Mark not awarded. El argumento está en grados. La forma exponencial exige radianes: arg z = π/3, así que z = 2e^{iπ/3}.
Dónde se pierden los puntos de verdad
Las ideas son nuevas en HL, pero los puntos se van como siempre: en la forma, el orden y la unidad.
Escribir el argumento en grados en la forma polar o exponencial.
CostoLa forma exponencial se define con radianes. e^{i·60°} no es el número que quieres decir, y el punto de respuesta del argumento se pierde.
Tomar el argumento directamente de tan⁻¹ sin revisar el cuadrante.
Costotan⁻¹ devuelve un ángulo entre −π/2 y π/2. Para un número con parte real negativa el argumento queda desfasado en π, y se pierde el punto de exactitud.
Multiplicar matrices en el orden equivocado, o suponer que AB = BA.
CostoLa multiplicación de matrices no es conmutativa. El orden equivocado da otra matriz, y cada línea posterior se apoya en ella.
Escribir las columnas de P en un orden distinto al de los valores propios en D.
CostoA = PDP⁻¹ solo se cumple cuando cada columna de P corresponde a su valor propio en la diagonal de D. Intercambiarlas da otra matriz.
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