AscentIQAscentIQ — home
← IB Matemáticas AI HL

IB Matemáticas AI HL · Tema 4

Estadística y probabilidad

La estadística de SL describe y contrasta; la de HL estima y modela. Las secciones AHL añaden la distribución de Poisson, la distribución de una media muestral, los intervalos de confianza, las pruebas formales con sus errores, la regresión no lineal y las cadenas de Markov. Es el tema donde el planteamiento — el modelo, las hipótesis, la conclusión — lleva más puntos.

Qué cubre el temario

Diecinueve secciones evaluadas: SL 4.1 a 4.11, compartidas con AI SL, y AHL 4.12 a 4.19, que son solo de HL.

SL 4.1MuestreoPoblación frente a muestra, técnicas de muestreo aleatorio y su eficacia, sesgo y fiabilidad de las fuentes, e interpretación de valores atípicos.
SL 4.2Presentación de datosTablas de frecuencia, histogramas, diagramas de caja y bigotes, y gráficas de frecuencia acumulada de las que se leen mediana, cuartiles y percentiles.
SL 4.3Tendencia central y dispersiónMedia, mediana y moda; estimación de la media con datos agrupados; IQR y desviación estándar, incluido cómo los cambios constantes en los datos las mueven.
SL 4.4Correlación y regresiónDiagramas de dispersión, rectas de ajuste a ojo por el punto medio, r de Pearson, y la recta de regresión y = ax + b con sus parámetros interpretados.
SL 4.5Conceptos de probabilidadEnsayos y resultados igualmente probables; P(A) = n(A)/n(U); eventos complementarios; número esperado de ocurrencias.
SL 4.6Eventos compuestosDiagramas de Venn, de árbol y tablas de espacio muestral; regla de la adición; eventos mutuamente excluyentes, condicionales e independientes.
SL 4.7Variables aleatorias discretasDistribuciones de probabilidad y valor esperado E(X) = Σxᵢ·P(X = xᵢ), aplicado a juegos y contextos tipo seguro.
SL 4.8Distribución binomialNotación X ~ B(n, p) con media np y varianza np(1 − p); probabilidades individuales vía GDC.
SL 4.9Distribución normalProbabilidades y cálculos con normal inversa en la GDC, más juzgar si el modelo es razonable para los datos.
SL 4.10Rangos de SpearmanCuándo la correlación por rangos es mejor medida que el r de Pearson, y cómo los atípicos afectan a cada una distinto.
SL 4.11Pruebas de hipótesisFormular H₀ y H₁, niveles de significancia y valores p; pruebas χ² de independencia y bondad de ajuste; t-test; decisiones de una y dos colas.
AHL 4.12Diseño de la recolección de datos, fiabilidad y validezDiseñar un método de recolección, y juzgar su fiabilidad y su validez.
AHL 4.13Regresión no linealAjustar modelos cuadráticos, cúbicos, exponenciales, potenciales y sinusoidales con tecnología, y el coeficiente de determinación R².
AHL 4.14Combinaciones lineales y estimadores insesgadosLa media y la varianza de combinaciones de variables aleatorias, y estimaciones insesgadas de la media y la varianza de una población.
AHL 4.15Combinaciones de variables normales y teorema central del límiteLa distribución de una suma, una diferencia y una media muestral.
AHL 4.16Intervalos de confianza para la mediaConstruir e interpretar un intervalo para la media de una población.
AHL 4.17La distribución de PoissonSus condiciones, su media y su varianza, y las probabilidades para distintas longitudes de intervalo.
AHL 4.18Pruebas de hipótesis: regiones críticas y erroresPruebas de una y dos colas, regiones críticas y valores p, y las probabilidades de los errores de tipo I y de tipo II.
AHL 4.19Matrices de transición y cadenas de MarkovEl estado tras n pasos por multiplicación repetida, y el estado estacionario de una cadena regular.

Cómo se examina

La calculadora hace la aritmética. Los puntos están en lo que le preguntaste, y en la frase que viene después del número.

  • Enuncia el modelo antes de usarlo: X ~ Po(λ), o X̄ ~ N(μ, σ²/n), con los números. Esa línea lleva el punto de método, y además evita que uses la distribución equivocada.

  • Una prueba de hipótesis tiene un guion fijo: H₀ y H₁ en términos del parámetro, el nivel de significancia, el valor p o la región crítica, una comparación y una conclusión en contexto. Cada etapa se califica.

  • Un error de tipo I es rechazar H₀ cuando es verdadera, y su probabilidad es el nivel de significancia de la prueba. Un error de tipo II es no rechazar H₀ cuando es falsa, y se calcula para un valor alternativo dado.

  • La estimación insesgada de la varianza de una población divide por n − 1. Usa la desviación estándar muestral s, no la poblacional, en estimaciones, intervalos y pruebas.

  • La media de Poisson escala con el intervalo: 3 por hora son 1,5 en media hora. Las preguntas cambian a menudo el intervalo y esperan que la media cambie con él.

  • La regresión no lineal es una elección de modelo, a partir del contexto o del diagrama de dispersión, seguida de la lectura de R². Un R² alto mide el ajuste; no prueba el modelo.

  • Las cadenas de Markov usan una matriz de transición cuyas columnas suman 1, así que el estado tras n pasos es Tⁿ por el estado inicial; el estado estacionario resuelve Tπ = π.

Una pregunta corregida, punto por punto

Una prueba de Poisson donde el valor p es correcto y la conclusión no se enuncia en contexto — el lugar habitual donde se va el último punto.

Ensaya todo el procedimiento, paso a paso

Del muestreo de SL 4.1 a las cadenas de Markov de AHL 4.19, cada ejercicio generado vuelve con cada punto otorgado o retenido y una razón — incluida la frase de conclusión que los estudiantes suelen omitir.

Empieza tu prueba

¿Nuevo en los códigos? M1, A1 y R1 explicados →

Prueba de hipótesis · AHL 4.18

Semilla 3R90

Las llamadas a una línea de ayuda siguen una distribución de Poisson con media de 4 por hora. Tras un anuncio llegan 8 llamadas en una hora. Una prueba al 5% comprueba si la media ha aumentado. H₀: λ = 4, H₁: λ > 4.

  1. (a)Halla el valor p de la prueba.
  2. (b)Enuncia la conclusión, en contexto.

Tu desarrollo

X ~ Po(4)

p = P(X ≥ 8) = 1 − P(X ≤ 7) = 0,0511

0,0511 > 0,05, así que no se rechaza H₀.

Puntos otorgados

  • M1Mark awarded. Modelo de Poisson enunciado, y la cola superior escrita como 1 − P(X ≤ 7).
  • A1Mark awarded. Valor p 0,0511, con tres cifras significativas.
  • R1Mark not awarded. La comparación es correcta, pero la conclusión no está en contexto: falta decir que no hay evidencia suficiente de que la media de llamadas haya aumentado.

Dónde se pierden los puntos de verdad

Aquí la calculadora rara vez es el problema. Lo son el planteamiento que la rodea y la frase que viene después.

Calcular P(X ≥ 8) como 1 − P(X ≤ 8), o tratar 'más que' como 'al menos'.

CostoLa probabilidad corresponde a otro suceso. El valor p queda mal, se pierde el punto de exactitud y la conclusión puede cambiar.

Terminar una prueba con 'se rechaza H₀' o 'no se rechaza H₀' y nada más.

CostoEl punto de conclusión es por el enunciado en contexto. La decisión sola, sin lo que significa para la situación, gana poco.

Usar la desviación estándar poblacional donde se necesita una estimación insesgada.

CostoLa estimación divide por n en lugar de n − 1. Cada intervalo y estadístico posterior queda ligeramente desviado, y se pierden los puntos de exactitud.

Usar la media de Poisson de una longitud de intervalo en una pregunta sobre otra.

CostoUna media de 4 por hora no es la media de media hora. El modelo está mal desde su primera línea.

Otros temas de Matemáticas AI HL

¿Estudias otro curso?