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IB Matemáticas AI HL · Tema 5

Cálculo

En SL el cálculo se aplica a polinomios: optimización y área. En HL es más profundo y más amplio — las reglas de la cadena, del producto y del cociente, la integración por sustitución, los volúmenes de revolución — y luego se abre a las ecuaciones diferenciales: separación de variables, campos de pendientes, el método de Euler y sistemas acoplados cuyo comportamiento se lee en los valores propios.

Qué cubre el temario

Dieciocho secciones evaluadas: SL 5.1 a 5.8, compartidas con AI SL, y AHL 5.9 a 5.18, que son solo de HL.

SL 5.1Límites y la derivadaEl concepto de límite introducido informalmente; la derivada interpretada como función pendiente y como razón de cambio.
SL 5.2Crecimiento y decrecimientoLeer f′(x) > 0, f′(x) = 0 y f′(x) < 0 en una gráfica, y qué significa cada uno para la función.
SL 5.3Derivadas de polinomiosFunciones de la forma f(x) = axⁿ + bxⁿ⁻¹ + …, donde todos los exponentes son enteros.
SL 5.4Tangentes y normalesSus ecuaciones en un punto dado — pendiente desde la derivada, recta por el punto con sustitución mostrada.
SL 5.5IntegraciónAntiderivadas de funciones tipo axⁿ (n ≠ −1); condiciones de frontera para fijar la constante; integrales definidas con tecnología; área bajo una curva sobre el eje x.
SL 5.6Puntos estacionariosResolver f′(x) = 0; identificar máximos y mínimos locales entre las soluciones.
SL 5.7Optimización en contextoProblemas verbales que recorren modelo → derivar → resolver → interpretar, con unidades y conclusión en términos del escenario.
SL 5.8Regla del trapecioAproximar áreas bajo curvas cuando no hay integración disponible — tabla de valores, ancho de intervalo h, suma ponderada.
AHL 5.9Reglas de la cadena, del producto y del cociente; tasas relacionadasDerivadas de potencias, seno, coseno, tangente, eˣ y ln x a mano, y tasas de cambio vinculadas por una relación.
AHL 5.10La segunda derivadaConcavidad, puntos de inflexión y la prueba de la segunda derivada.
AHL 5.11Integración por inspección y por sustituciónRevertir la regla de la cadena, y sustitución de la forma ∫f(g(x))g′(x) dx.
AHL 5.12Áreas y volúmenes de revoluciónÁreas respecto del eje y, y volúmenes de revolución alrededor del eje x y del eje y.
AHL 5.13CinemáticaDesplazamiento, velocidad y aceleración por derivación e integración, y distancia total.
AHL 5.14Ecuaciones diferenciales y separación de variablesPlantear una ecuación a partir de un contexto y resolverla separando las variables.
AHL 5.15Campos de pendientesLeer la dirección de las curvas solución y la ecuación de una isoclina.
AHL 5.16El método de EulerAproximar una solución paso a paso, para una ecuación y para sistemas acoplados.
AHL 5.17Retratos de fase de ecuaciones acopladasPuntos de equilibrio y su tipo — nodo estable o inestable, punto silla, espiral, centro — a partir de los valores propios.
AHL 5.18Ecuaciones de segundo orden con el método de EulerReescribir una ecuación de segundo orden como un par de ecuaciones de primer orden, y luego avanzar paso a paso.

Cómo se examina

El cálculo en HL se examina como técnica y como modelización. La técnica es a mano cuando se pide una respuesta exacta.

  • Desde AHL 5.9 la derivación y la integración van más allá de los polinomios: potencias racionales, sen, cos, tan, eˣ y ln x, a mano. La GDC verifica; no reemplaza el desarrollo cuando se pide una respuesta exacta.

  • Las tasas relacionadas conectan una relación con el tiempo: escribe la relación, deriva respecto de t, sustituye. Las unidades y el signo de la tasa — creciente o decreciente — forman parte de la respuesta.

  • Un punto de inflexión necesita un cambio de concavidad, no solo f″(x) = 0. El signo de f″ a ambos lados es la justificación.

  • Un volumen de revolución es π∫y² dx alrededor del eje x, y π∫x² dy alrededor del eje y. Respecto de qué variable integras y los límites en esa variable son la mayor parte del desarrollo.

  • Una ecuación diferencial de un contexto se construye a partir de una frase: escribe dy/dx, separa, integra ambos lados y usa la condición inicial para hallar la constante.

  • El método de Euler es una tabla escrita. Cada paso usa los valores anteriores: xₙ₊₁ = xₙ + h y yₙ₊₁ = yₙ + h f(xₙ, yₙ). En un sistema acoplado, ambas componentes se actualizan con los valores antiguos.

  • En los sistemas lineales acoplados el equilibrio es donde ambas derivadas son cero, y su tipo se lee en los valores propios de la matriz del sistema.

Una pregunta corregida, punto por punto

Una pregunta del método de Euler donde los pasos son correctos y el error porcentual se mide contra el valor equivocado.

Practica toda la cadena, con ejercicios nuevos

De SL 5.1 a AHL 5.18, cada ejercicio generado vuelve corregido punto por punto, con una razón para cada uno — para que un paso de Euler desplazado se vea ahora, no el día de resultados.

Empieza tu prueba

¿Nuevo en los códigos? M1, A1 y R1 explicados →

Método de Euler · AHL 5.16

Semilla 1V63

Considera dy/dx = x + y con y(0) = 1. Usa el método de Euler con paso h = 0,1 para estimar y(0,2). El valor exacto es y(0,2) = 1,24281, con cinco decimales.

  1. (a)Halla la estimación de y(0,2) con el método de Euler.
  2. (b)Halla el error porcentual de la estimación, con tres cifras significativas.

Tu desarrollo

y₁ = 1 + 0,1(0 + 1) = 1,1

y₂ = 1,1 + 0,1(0,1 + 1,1) = 1,22

error = (1,24281 − 1,22) / 1,22 × 100 = 1,87%

Puntos otorgados

  • M1Mark awarded. Fórmula de Euler aplicada con los valores previos de x e y en cada paso.
  • A1Mark awarded. y(0,2) ≈ 1,22.
  • A1Mark not awarded. El error se dividió por la estimación, 1,22. Un error porcentual es relativo al valor exacto: 0,02281 / 1,24281 = 1,84%.

Dónde se pierden los puntos de verdad

En HL el desarrollo es más largo, y los puntos se pierden donde una línea cambia sin que lo notes.

Dividir por la aproximación en lugar de por el valor exacto al hallar un error porcentual.

CostoEl porcentaje es de otra cantidad. El punto de método puede quedar; el de exactitud no.

Usar el x nuevo, o el paso equivocado, dentro de la pendiente en un paso de Euler.

CostoEl método de Euler evalúa la pendiente al inicio de cada paso. Un valor desplazado cambia todas las líneas siguientes.

Llamar inflexión a un punto porque f″(x) = 0.

CostoUn cero de la segunda derivada es solo un candidato. El punto de razonamiento es por el cambio de concavidad a ambos lados.

Omitir la constante de integración tras separar las variables.

CostoLa solución general queda incompleta, no hay nada que la condición inicial pueda fijar, y se pierden los puntos que siguen.

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